函数不等式习题汇总（一）

证明 $e^x \geq 1+x$
证明 $e^{-x} \leq \dfrac{1}{1+x}$ , $x>-1$
证明 $e^{-x} \geq 1-x$
证明 $e^x \leq \dfrac{1}{1-x}$ , $x<1$
证明 $e^x \geq 1+x+\dfrac{1}{2}x^2$ , $x\geq 0$
证明 $e^{-x}\leq 1-x+\dfrac{1}{2}x^2$ , $x\geq 0$
证明 $\dfrac{x}{x+1}<\dfrac{2x}{x+2}<\ln(1+x)<\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{x}{1+x})<x$ , $x>0$
证明 $x-\dfrac{1}{2}x^2<\ln(1+x)<\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}$ , $x>0$
证明 $\dfrac{2(x-1)}{x+1}<\ln x<\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x})$ , $x>1$
证明 $\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x})<\ln x<\dfrac{2(x-1)}{x+1}$ , $0<x<1$
证明 $\sqrt{1+x^2}\leq 1+x\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ , $x\geq 0$
证明 $e^{2x-2}-e^{x-1}\ln x-x \geq 0$ , $x>0$
证明 $1-x-x\ln x<\dfrac{x}{\ln(1+x)}(1+\dfrac{1}{e^2})$
证明 $(x-1)\ln(x+1)-x\ln x>0$ , $0<x<1$
证明 $(e^x-1)\ln(1+x)\geq x^2$ , $x\geq 0$
证明 $1\leq e^x-(x+1)\ln(x+1)\leq 1+\dfrac{1}{3}x^3$ , $0\leq x\leq 1$
证明 $(1+x)^r\leq 1+rx$ , $0<r<1$
证明 $(1+x)^r\geq 1+rx$ , $r<0$ 或 $r>1$
证明 $\dfrac{2}{\pi}x\leq \sin x \leq x \leq \tan x$ , $x\in [0,\dfrac{\pi}{2})$
证明 $1-\dfrac{1}{2}x^2\leq \cos x\leq 1$ , $x-\dfrac{1}{6}x^3\leq \sin x \leq x$ , $x\in[0,1]$
证明 $e^{\frac{x+y}{2}}<\dfrac{e^x-e^y}{x-y}<\dfrac{e^x+e^y}{2}$ , $\dfrac{e^x-e^y}{x-y}<\dfrac{1}{2}(e^{\frac{x+y}{2}}+\dfrac{e^x+e^y}{2})$ , $x\neq y$
证明 $x\ln x+y\ln y>(x+y)\ln \dfrac{x+y}{2}$ , $(x>0,y>0,x\neq y)$
证明 $\ln ^2 y-\ln ^2 x>\dfrac{4}{e}(y-x)$ , $e<x<y<e^2$
证明 $\sin x > \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ , $x\in (0,1)$
证明 $\ln(1+x) \leq \sin x$ , $x\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$
证明 $\ln(1+x) \leq \dfrac{1}{2}(x+\sin x)$ , $x\in[0,+\infty)$
证明 $xy\leq e^{x-1}+y\ln y$ , $x,y\in[1,+\infty)$
证明 $(e^x-ex)\ln x+\dfrac{2e^{x-1}}{x}>2$ , $x\in(0,+\infty)$
证明 $e^{ax}+\ln(1+x)-1>2ax$ , $a\leq 0$ , $x>0$

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