1.若P1,P2为数域,证明:P1⋂P2也为数域.
证:设P1⋂P2=P,
∵P1,P2是数域,∴0,1∈P1,0,1∈P2
∴0,1∈P
设∀a,b∈P,由题a,b∈P1且a,b∈P2
∵P1,P2是数域,∴a+b∈P1,a+b∈P2
∴a+b∈P,∴P对加法运算是封闭的.
同理可证P对减法、乘法、除法(除数不为0)也是封闭的.
因此,P是数域,即P1⋂P2是数域
2.证明:集合S={m2n|m,n∈Z}是一个数环.S是数域吗?
证:令m=n=0,m2n=0,说明S非空;
设x=m2n,y=p2q,其中m,n,p,q∈Z,不妨设n≥q
x±y=m2n±p2q=m±2n−q⋅p2n∈S
xy=m2n⋅p2q=mp2n+q∈S
于是,集合S是一个数环。
假设y≠0,即p≠0
xy=m2np2q=mp2n−p,其中mp不一定是整数,如m=1,n=1,p=3,q=1,xy=13∉S
3.设a,b∈R.证明:若对任何正数ε有|a−b|<ε,则a=b
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