构造法证明不等式

已知 $a,b,c,d \in \mathbf{R}$ .求证

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{d^2+a^2} \geq \sqrt{2}(a+b+c+d)$ .

【分析】不等式左边是平面内某两点间的距离形式，由此联想构造距离来证明。

【证】取直角坐标系内四点：

$A(a,b)$ ,

$B(a+b,b+c)$ ,

$C(a+b+c,b+c+d)$ ,

$D(a+b+c+d,a+b+c+d)$ .

平面内两点间所有连线中，直线段最短，所以

$\vert OA\vert+\vert AB\vert+\vert AC\vert+\vert CD\vert \geq \vert OD \vert$ .

即

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{d^2+a^2} \geq \sqrt{2}(a+b+c+d)$ .

【评注】构造法的优越性在于脱离原来讨论的“陌生”环境到一个“熟悉”的地方来研究，自然事半功倍.

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