题目锐角 △ABC 中,已知 a=√3,A=π3,则 b2+c2+bc 的取值范围是
(A) (3,9] (B) (5,9]
(C) (7,9] (D) (5,7]
解法一由余弦定理,a2=b2+c2−2bccosA,即 3=b2+c2−bc,得b2+c2=bc+3
由正弦定理,asinA=bsinB=csinC 得
bc=4sinBsinC=4sinBsin(2π3−B)
化简得 bc=2sin(2B−π6)+1
由 0<B<π2,0<2π3−B<π2 得 π6<B<π2
于是 π6<2B−π6<5π6
所以 sin(2B−π6)∈(12,1],bc∈(2,3],b2+c2+bc=2bc+3∈(7,9],选 (C) .
解法二a=√3,A=π3⇒R=1
3=a2=b2+c2−bc=(b2+c2+bc)−2bc=y−2bc
所以
y=2bc+3=8sinBsinC+3
=−4[cos(B+C)−cos(B+C)]+3
=4cos(B−C)+5
又锐角三角形 B,C∈(0,π2) 且 B+C=2π3⇒B−C∈(−π3,π3)
所以 y=4cos(B−C)+5∈(7,9]
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